Уравнения параболического типа Примеры решения задач Приближенный метод интегрирования систем Пример. Вычислить координаты вектора Аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач: уравнение плоскости Контрольная работа

Примеры решения типовых задач по математике

Уравнения параболического типа

 Простейшим представителем уравнения этого типа является уравнение теплопроводности

,

где функция  описывает распространение тепла в стержне  длиной l в момент времени ; а2 – коэффициент теплопроводности (при стержень однородный); – функция источников тепла. Если источники отсутствуют, то уравнение принимает вид

.

2.1. Уравнение теплопроводности

 для нестационарного случая

 Обозначим через  температуру в точке М однородного тела, ограниченного поверхностью S в момент времени t. Известно, что количество теплоты , поглощаемой телом за время , выражается равенством

, (1)

где  – элемент поверхности, k – так называемый коэффициент внутренней теплопроводности,  – производная функции U по направлению внешней нормали к поверхности S.

Так как теплота распространяется в направлении понижения температуры, то , если , и , если .

 Из равенства (1) следует, что .

 Вычислим Q другим способом. Выделим элемент  объема V, ограниченного поверхностью S. Количество теплоты , получаемой элементом  за время , пропорционально повышению температуры в этом элементе и массе самого элемента, т.е.

, (2)

где  – плотность вещества,  – коэффициент пропорциональности, называемый теплоемкостью вещества. Из равенства (2) следует, что .

Таким образом, получаем , где . Учитывая, что  и , преобразуем полученное равенство к виду

.

Заменив правую часть с помощью формулы Остроградского-Гаусса, имеем

,

или ,

для любого объема V. Отсюда получаем дифференциальное уравнение

,

называемое уравнением теплопроводности для нестационарного случая.

 Если тело является стержнем, направленным по оси Ox, то уравнение теплопроводности имеет вид

. (3)

 Для уравнения (3) можно поставить следующие краевые задачи:

Первая краевая задача

Найти решение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию

; (4)

в начальный момент времени  задано распределение температуры по всей длине стержня ;

и граничным условиям:

; (5)

на концах стержня  и  в любой момент времени  известна температура U1 и U2.

Вторая краевая задача

Найти решение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию (4) и граничным условиям:

, ; (6)

концы стержня  и  теплоизолированы.

Смешанная краевая задача

Найти решение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию (4) и граничным условиям:

;

на концах  и  задан теплообмен со средой, h – коэффициент теплообмена, – температура среды.

Задача Коши

Найти решение уравнения (3) для бесконечного стержня, если известно начальное распределение температуры:

, граничные условия отсутствуют.

 Можно рассматривать полубесконечный стержень . Тогда на конце  задается граничное условие (задача с одним граничным условием). Возможно ставить краевую задачу с условиями (5) и (6) на разных концах (на одном конце задана температура, другой конец теплоизолирован).


Базалиома на лице по материалам bazalioma-center.ru.
Решение дифференциальных уравнений