Уравнения параболического типа
Простейшим представителем уравнения этого типа является уравнение теплопроводности
,
где функция 
описывает распространение тепла в стержне 
длиной l в момент времени 
; а2 – коэффициент теплопроводности (при 
стержень однородный); 
– функция источников тепла. Если источники отсутствуют,
то уравнение принимает вид
.
2.1. Уравнение теплопроводности
для нестационарного случая
Обозначим через 
температуру в точке М однородного тела, ограниченного
поверхностью S в момент времени t. Известно, что количество теплоты 
, поглощаемой телом за время 
, выражается равенством
, (1)
где 
– элемент поверхности, k – так называемый коэффициент
внутренней теплопроводности, 
– производная функции U по направлению внешней нормали
к поверхности S.
Так как теплота распространяется в направлении понижения
температуры, то 
, если 
, и 
, если 
.
Из равенства (1) следует, что 
.
Вычислим Q другим способом. Выделим элемент 
объема V, ограниченного поверхностью S. Количество теплоты
, получаемой элементом за время , пропорционально повышению температуры в этом элементе
и массе самого элемента, т.е.
, (2)
где 
– плотность вещества, 
– коэффициент пропорциональности, называемый теплоемкостью
вещества. Из равенства (2) следует, что 
.
Таким образом, получаем 
, где 
. Учитывая, что 
и 
, преобразуем полученное равенство к виду
.
Заменив правую часть с помощью формулы Остроградского-Гаусса, имеем
,
или 
,
для любого объема V. Отсюда получаем дифференциальное уравнение
,
называемое уравнением теплопроводности для нестационарного случая.
Если тело является стержнем, направленным по оси Ox, то уравнение теплопроводности имеет вид
. (3)
Для уравнения (3) можно поставить следующие краевые задачи:
Первая краевая задача
Найти решение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию
; (4)
в начальный момент времени 
задано распределение температуры по всей длине стержня
;
и граничным условиям:
, 
; (5)
на концах стержня 
и 
в любой момент времени 
известна температура U1 и U2.
Вторая краевая задача
Найти решение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию (4) и граничным условиям:
, 
; (6)
концы стержня и теплоизолированы.
Смешанная краевая задача
Найти решение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию (4) и граничным условиям:
, 
;
на концах и задан теплообмен со средой, h – коэффициент теплообмена,
– температура среды.
Задача Коши
Найти решение уравнения (3) для бесконечного стержня, если известно начальное распределение температуры:
, 
, граничные условия отсутствуют.
Можно рассматривать
полубесконечный стержень 
. Тогда на конце задается граничное условие (задача с одним граничным условием).
Возможно ставить краевую задачу с условиями (5) и (6) на разных концах (на одном
конце задана температура, другой конец теплоизолирован).