Уравнения параболического типа
Простейшим представителем уравнения этого типа является уравнение теплопроводности
,
где функция
описывает распространение тепла в стержне
длиной l в момент времени
; а2 – коэффициент теплопроводности (при
стержень однородный);
– функция источников тепла. Если источники отсутствуют, то уравнение принимает вид
.
2.1. Уравнение теплопроводности
для нестационарного случая
Обозначим через
температуру в точке М однородного тела, ограниченного поверхностью S в момент времени t. Известно, что количество теплоты
, поглощаемой телом за время
, выражается равенством
, (1)
где
– элемент поверхности, k – так называемый коэффициент внутренней теплопроводности,
– производная функции U по направлению внешней нормали к поверхности S.
Так как теплота распространяется в направлении понижения температуры, то
, если
, и
, если
.
Из равенства (1) следует, что
.
Вычислим Q другим способом. Выделим элемент
объема V, ограниченного поверхностью S. Количество теплоты
, получаемой элементом
за время
, пропорционально повышению температуры в этом элементе и массе самого элемента, т.е.
, (2)
где
– плотность вещества,
– коэффициент пропорциональности, называемый теплоемкостью вещества. Из равенства (2) следует, что
.
Таким образом, получаем
, где
. Учитывая, что
и
, преобразуем полученное равенство к виду
.
Заменив правую часть с помощью формулы Остроградского-Гаусса, имеем
,
или
,
для любого объема V. Отсюда получаем дифференциальное уравнение
,
называемое уравнением теплопроводности для нестационарного случая.
Если тело является стержнем, направленным по оси Ox, то уравнение теплопроводности имеет вид
. (3)
Для уравнения (3) можно поставить следующие краевые задачи:
Первая краевая задача
Найти решение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию
; (4)
в начальный момент времени
задано распределение температуры по всей длине стержня
;
и граничным условиям:
,
; (5)
на концах стержня
и
в любой момент времени
известна температура U1 и U2.
Вторая краевая задача
Найти решение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию (4) и граничным условиям:
,
; (6)
концы стержня
и
теплоизолированы.
Смешанная краевая задача
Найти решение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию (4) и граничным условиям:
,
;
на концах
и
задан теплообмен со средой, h – коэффициент теплообмена,
– температура среды.
Задача Коши
Найти решение уравнения (3) для бесконечного стержня, если известно начальное распределение температуры:
,
, граничные условия отсутствуют.
Можно рассматривать полубесконечный стержень
. Тогда на конце
задается граничное условие (задача с одним граничным условием). Возможно ставить краевую задачу с условиями (5) и (6) на разных концах (на одном конце задана температура, другой конец теплоизолирован).
Решение дифференциальных уравнений |