рольставни на окна наружные и внутренние цена
Уравнения параболического типа Примеры решения задач Приближенный метод интегрирования систем Пример. Вычислить координаты вектора Аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач: уравнение плоскости Контрольная работа

Примеры решения типовых задач по математике

Пример. Методом прогонки найти решение уравнения , удовлетворяющее условиям , .

Решение. Возьмем h=0,1; l=0,01. Следовательно, . Найдем методом прогонки значения функции  на слое t=0,01.

Прямой ход. Записываем в строке  табл. 13 значения начальной функции , i=0, 1, … , 10. Находим по формулам (60) при j=0 числа , . Затем по формулам (62) при j=0 последовательно вычисляем:

;

;

.

Таблица 13

i

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

0,360

0,640

0,840

0,960

1,000

0,960

0,840

0,640

0,360

0

0

0,333

0,375

0,382

0,382

0,382

0,382

0,382

0,382

0,382

0

0

0,360

0,760

0,125

1,389

1,153

1,544

1,430

1,186

1,813

0

0

0,310

0,572

0,764

0,882

0,921

0,882

0,764

0,571

0,310

0

Обратный ход. Из краевых условий получаем . Значение , i=9,8,…,1 вычисляем по формулам (62) при j=0:

 .

 .

 . . .

 .

 

 

Решение уравнения движения грунта

Пусть одномерное перемещение частиц пластически сжимаемого грунта происходит параллельно оси x (рис. 15), тогда это движение описывается уравнением в частных производных.

, (63)

где Р, ,  – давление, плотность и скорость частиц грунта; t – время.

Такое движение грунта имеет место, например, при его взаимодействии с рабочими органами дорожно-строительных машин.

Важным для практических приложений, в частности для описания динамики какого-либо процесса взаимодействия, изменяющегося во времени, является случай нестационарного движения, когда

. (64)

В этом случае решение дифференциального уравнения (63), записанного в форме

, (65)

где Ф(х), H(х) и G(х) – некоторые известные функции, удовлетворяющие начальному условию (64), можно получить в виде неявной функции

, (66)

где ,

 – обратная функция .

Выражение (66) представляет собой решение задачи Коши для уравнения (65) при начальном условии (64).

Пример. Пусть нестационарное движение грунта представлено дифференциальным уравнением

, (67)

решение которого удовлетворяет начальному условию

. (68)

Здесь , , , , , , , . (69)

Тогда искомое частное решение уравнения (67), удовлетворяющее условию (68), с учетом обозначений (69) будет иметь вид

  . (70)

Или в явном виде

. (71)

Поставим более общую задачу. Пусть функции и  можно представить как

 ,


Honeywell f74c источник.
Решение дифференциальных уравнений