Уравнения параболического типа Примеры решения задач Приближенный метод интегрирования систем Пример. Вычислить координаты вектора Аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач: уравнение плоскости Контрольная работа

Примеры решения типовых задач по математике

Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка

Требуется найти решение системы уравнений

 

удовлетворяющее начальным условиям ,  при .

Требуется определить значения функций y и z при значениях аргумента x0, x1, … , xk, xk+1, … , xn. Используем рекуррентные формулы типа (18):

, (20)

. (21)

Чтобы вычислять по этим формулам, нам необходимо знать у1, у2, z1, z2, которые можно найти по формулам типа (9) и (10):

,

.

Для применения этих формул нужно знать , , , , , . Их мы найдем из уравнений (19), (19′) последовательным дифференцированием:

,

.

Дифференцируя еще раз, найдем , .

Зная у1, у2, z1, z2, находим из уравнений (19) и (19′) , , , , , , , , ,  и заполняем табл. 8:

Таблица 8

х

у

z

x0

y0

z0

x1

y1

z1

x2

y2

z2

x3

y3

z3

По формулам (20), (21) найдем у3, z3, а из уравнений (19), (19¢) найдем , . Вычислив , , , , снова по формулам (20), (21) найдем у4, z4 и т.д.

Пример. Найти приближенные значения решений системы

Вычислить значения решений при х = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4.

Решение. Из условий находим .

Дифференцируя данные уравнения, найдем:

,

.

По формулам (20), (21) находим:

,

,

,

.

Теперь находим:

= 1,0050, = 0,1002,

= 1,0200, = 0,2013,

= 0,0050, = 0,1002,

= 0,0150, = 0,1011,

= 0,0100, = 0,0009

и заполняем табл. 9.

Далее по формулам (20) и (21) находим:

,

и аналогично

,

.

Заметим, что точным решением системы являются функции , .

Поэтому ; .

 


Подъемники грузовые для магазинов на сайте http://s-pod.ru.
Решение дифференциальных уравнений