Уравнения параболического типа Примеры решения задач Приближенный метод интегрирования систем Пример. Вычислить координаты вектора Аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач: уравнение плоскости Контрольная работа

Примеры решения типовых задач по математике

Задача Дирихле для круга

Пусть дан круг радиусом R с центром в начале координат (рис. 4). Будем искать функцию , гармоническую в круге и удовлетворяющую на его окружности условию , где  – заданная функция, непрерывная на окружности. Искомая функция должна удовлетворять в круге уравнению Лапласа (23)

.

Решаем уравнение методом Фурье (разделение переменных). Допустим, что частное решение ищется в виде .

Тогда получим . Понятие о комплексных числах. Курс лекций по математике

Разделяем переменные:

.

Приравнивая каждую часть полученного равенства к постоянной , получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения:

.

Отсюда при  имеем:

 , (28)

 . (29)

Если , то

 , (30)

а решение второго уравнения будем искать в виде , что дает  или , т.е. m = ±k. Следовательно,

 . (31)

Заметим, что  как функция от j  есть периодическая функция с периодом 2p , так как . Поэтому из равенства (23) следует, что , а в равенстве (30) k может принимать одно из значений: 1, 2, 3… (). Далее, в равенствах (29) и (31) должно быть , так как в противном случае функция имела бы разрыв в точке  и не была бы гармонической в круге. Итак, мы получили бесчисленное множество частных решений уравнения (1), непрерывных в круге, которые можно записать в виде:

, n =1, 2, … .

Составим теперь функцию

 , (32)

которая вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа также служит его решением. Остается определить величины А0, Аn, Вn так, чтобы эта функция удовлетворяла условию , т.е. .

Здесь мы имеем разложение функции  в ряд Фурье в промежутке . В силу известных формул находим:

 ,

 . (33)

Таким образом, решение уравнения Лапласа в круге нашли в виде ряда (32) с коэффициентами (33).

Перепишем решение в виде

.

Упростим полученный результат. Полагая , , представим выражение в квадратных скобках в виде

.

Рассмотрим ряд .

Этот ряд сходится при , и его сумма равна

.

Следовательно,

,

или, возвращаясь к прежним обозначениям, получим

  . (34)

Мы получили решение задачи Дирихле для круга в виде интеграла Пуассона.


Решение дифференциальных уравнений