УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В учебном пособии приводятся способы нахождения точных решений различных типов дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка и методы приближенных решений обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными. Каждый раздел пособия содержит теоретическое описание метода, образцы решения задач и набор задач для самостоятельного решения. Даются три типовых расчета: по методам решений дифференциальных уравнений с частными производными, а также по приближенным и вариационным методам. Теоретические выкладки снабжены практическими примерами.
Тематика и содержание пособия отвечают требованиям образовательного стандарта второго поколения. В этой главе мы рассмотрим некоторые примеры применения теории дифференциальных уравнений в непрерывных моделях экономики, где независимой переменной является время t. Такие модели достаточно эффективны при исследовании эволюции экономических систем на длительных интервалах времени; они являются предметом исследования экономической динамики.
Книга
окажет помощь в освоении указанных разделов высшей математики студентами, будет
полезна также преподавателям в качестве пособия по методике чтения лекционного
курса и ведения практических занятий. Достаточная краткость и сжатость сочетаются
в ней с высоким уровнем строгости и полноты изложения материала.
Уравнения гиперболического типа
Основные уравнения математической физики и краевые задачи для них
Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных функции двух переменных вида
, (1)
где А, В, С – в общем случае функции переменных x и t из некоторой области G. Из уравнения (1) решение определяется неоднозначно. Для выделения единственного решения необходимо задать краевые условия, которые формулируются в виде граничных и начальных условий. Краевые условия вместе с дифференциальным уравнением образуют краевую задачу.
Краевая задача называется корректно поставленной, если:
решение ее существует и единственно;
решение ее устойчиво по входным данным, т.е. малые изменения в начальных или граничных условиях приводят к малым изменениям в решении краевой задачи.
В зависимости от коэффициентов уравнения (1) ставятся различные краевые задачи. Рассмотрим величину D=B2–AC. Если D>0, то уравнение (1) называется уравнением гиперболического типа; если D=0, то параболического; если D<0, то эллиптического типа.
Простейшей формой (каноническим видом) уравнений различного типа являются следующие уравнения:
– гиперболический тип;
– параболический тип;
– эллиптический тип.
Для каждого из уравнений поставим корректные краевые задачи и найдем их решения.
Рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т.д. приводит к уравнениям гиперболического типа. Простейшее из них имеет вид
.