Задачи и методы теории передачи сигналов Амплитудно-модулированные колебания Фазовая модуляция Функции распределения (интегральная или дифференциальная) Гармонический анализ: ряды и интеграл Фурье

Теория электросвязи

Разложение по полиномам Лаггера. Для анализа сигналов сложной формы целесообразно выбирать систему функций, обеспечивающую наиболее быструю сходимость ряда Фурье, (т.е. требующую наименьшего числа членов ряда для заданной точности пред-ставления колебания).

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ И КОМПЛЕКСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Рассмотренные ортогональные разложения детерминированных сигналов можно использовать также для отдельных реализации случайных процессов. По отношению к случайному процессу в целом такие разложения имеют ту особенность, что коэффициенты разложения меняются от реализации к реализации. Следовательно, случайный процесс на интервале  можно разложить в ряд по детерминированным функциям

  (3.5.1)

где  - среднее значение случайного процесса, а  – коэффициенты разложения, являющиеся случайными величинами. Для случайных процессов сходимость ряда (3.5.1) необходимо понимать в среднеквадратичном смысле, т.е.

 (3.5.2)

  При выборе функций разложения для случайных процессов необходимо учитывать то, что в общем случае коэффициенты разложения  оказываются коррелированными. При теоретических исследованиях проще оперировать с некоррелированными коэффициентами. В этом случае задача отыскания функций  усложняется и сводится к решению интегрального уравнения 

  (3.5.3)

связывающего функции разложения с корреляционной функцией случайного процесса . Представление случайного процесса в виде ряда (3.5.1) с некоррелированными и имеющими нулевые средние значения коэффициентами называется каноническим разложением.

  Можно показать, что для белого шума любая система ортогональных функций обеспечат некоррелированность коэффициентов разложения.

 В соответствии с (3.5.1) случайный процесс без постоянной составляющей можно представить в виде ряда Фурье

   (3.5.4)

коэффициенты которого будут случайными, в общем случае коррелированными величинами. Для некоррелированности коэффициентов разложения в ряде Фурье необходимо выполнение одного из условий:

1) случайный процесс периодичен с периодом Т,

2) интервал разложения достаточно большой ;

3) случайный процесс представляет собой белый шум. Возводя обе части равенства (3.5.4) в квадрат и интегрируя на интервале 0-Т, с учетом ортогональности тригонометрических функций получим выражение

   (3.5.5)

аналогичное равенству Парсеваля, в котором обе части являются случайными величинами.

Если случайный процесс не содержит частот выше , то он может быть представлен в виде ряда Котельникова

  (3.5.6)

где

  Выясним смысл теоремы Котельникова применительно к случайным процессам. Для низкочастотных процессов, рассматриваемых здесь, корреляционная функция обычно имеет слабо выраженный колебательный характер и в основном расположена выше оси абсцисс. В этом случае, опуская в выражения (3.2.23) знак модуля и используя (3.3.8), для интервала корреляции случайного процесса получаем приближенное выражение

  (3.5.7)

Если случайный процесс имеет равномерную спектральную плотность мощности   в полосе частот , то согласно (3.3.6)  и .

Следовательно, интервал времени  есть не что иное, как интервал корреляции, а отсчеты представляют собой ближайшие некоррелированные значения случайного процесса. При использовании ряда Котельникова для процесса длительностью Т получим выражение, аналогичное (3.5.5):

  (3.5.8)

где

  Рассмотренное комплексное представление сигналов можно распространить также на случайные процессы. Если случайный стационарный процесс   не имеет постоянной составляющей, то с помощью преобразования Гильберта можно образовать сопряженный ему случайный процесс

  В радиотехнических и других приложениях наиболее часто встречается случайный процесс с нормальным распределением вероятностей, охватывающий широкий класс физических явление. Нормальными являются, например, внутренние флуктуационные шумы, обусловленные дробовым эффектом и тепловым движением электронов. Нормальное распределение имеет несколько особенностей. Первая состоит в том. что нормальный закон распределения является предельным, то есть к нему стремится распределение суммы произвольно распределенных случайных величин при неограниченном увеличении числа слагаемых.

Одномерная интегральная функция распределения для нормального закона определяется выражением называется интегралом вероятности или функцией Лапласа

Ортогональное разложение Котельникова для непрерывных сигналов с ограниченными спектрами позволяет представлять их в виде импульс-ных последовательностей (см. рис.) Теоретической основой разложения служит теорема Котельникова (теорема отсчетов): любая непрерывная функция S(t), не содержащая частот выше F, полностью определяется по-следовательностью значений в моменты, отстоящие друг от друга на время
Вычисление производной порядок интегрирования http://hisd.ru/
Теорема Котельникова Теория электросвязи