Задачи и методы теории передачи сигналов Амплитудно-модулированные колебания Фазовая модуляция Функции распределения (интегральная или дифференциальная) Гармонический анализ: ряды и интеграл Фурье

Теория электросвязи

Спектральный анализ и синтез детерминированных сигналов. Методы кусочной аппроксимации и другие методы аналитического опи-сания сигналов не решают в полном объеме задач математического модели-рования сложных сигналов, и , следовательно, задач прохождения сигналов через различные цепи. В некоторой степени эти проблемы разрешаются с помощью спектральной теории сигналов.

 Дискретизация функций по уровню


Теорема Котельникова позволяет перейти от передачи функции к передаче чисел, т.е. произвести дискретизацию функций по времени. Отсчеты функции представляют собой числа с непрерывной шкалой уровней. При наличии помех отсчеты в приемном устройстве воспроизводятся с некоторой погрешностью. Следовательно в этом случае нет необходимости использовать непрерывную шкалу уровней. Можно разбить весь диапазон изменения величины отсчетов на М дискретных уровней, и передаваемое значение отсчета заменять его ближайшим дискретным значением (рис.2.28).

Физические основы ферромагнитных стабилизаторов

Такая замена непрерывной шкалы уровней дискретной называется квантованием. Разница между двумя соседними уровнями Δ называется шагом квантования. При квантовании сигнала неизбежно возникает погрешность, которая не превосходит половины шага квантования. Эта погрешность приводит к так называемым шумам квантования. При достаточном большом М шумы квантования могут быть сделаны малыми. При передаче телефонных сообщений, например, выбирают М = 128.

 Если помеха в канале не превосходит половины шага квантования (в вероятностном смысле), то на приемной стороне принятое искаженное помехой значение будет отнесено к ближайшему дискретному уровню, соответствующему истинному уровню на передаче. Следовательно, квантование позволяет уменьшить влияние помех. Преимущества квантования особенно сильно проявляются при передаче на большие расстояния с использованием трансляций. Если между пунктами ретрансляции помеха не превосходит половины шага квантования, то сигнал можно точно восстановить (регенерировать). Регенерацию сигнала можно осуществлять сколь угодно раз. Если же сигнал передавался бы без квантования, то при многократной ретрансляции происходило бы накопление помех, и суммарный уровень помех на конце линии связи во много раз превосходил бы уровень шумов квантования.

 Недостатком способа передачи с квантованием является то, то приемник должен различать большое число близко расположенных уровней. Техническая реализация при этом оказывается сложной. Поэтому в чистом виде квантованный сигнал не передают, а используют так называемую импульсно-кодовую модуляцию (КИМ), которая будет рассмотрена ниже.

 § 2.6 Комплексное представление сигналов. Аналитические сигналы.

Как отмечалось выше, сигналы связи можно подразделить на радио- и видеосигналы. Обычно радиосигналы представляют собой узкополосный процесс, энергия которого сосредоточена в области несущей частоты. В общем случае при произвольном виде модуляции радиосигнал можно представить в форме

  (2.5.1)

где функции  и  называются соответственно огибающей и фазой радиосигнала.

  При представлении сигналов в виде (2.5.1) возникает неоднозначность в выборе функций  и , так как одному и тому же сигналу может быть поставлено в соответствие бесконечное множество пар  и . Например, при желании простейшее гармоническое колебание

 

можно представить в форме

 

где, как можно показать,

 

Из этого следует, что при нерациональном выборе аргумента  сильно усложнилось выражение для функции , которая по существу не является огибающей в общепринятом смысле.

 Чтобы исключить неоднозначность при определении огибающей и фазы, запись (2.5.1) доопределяют с помощью понятия ''аналитического'' сигнала. Напомним, что аналитической называется функция, которая непрерывна вместе со всеми своими производными. Многие сигналы связи не обладают таким свойством.

  Все физические процессы в природе описываются действительными функциями времени. Однако всем известна широкая распространенность в электротехнике комплексного представления гармонических колебаний. При решении большого числа задач весьма эффективным оказывается комплексное представление и негармонических колебаний. Комплексное представление колебаний позволяет строить аналитические сигналы.

  Можно показать, что комплексная функция действительного переменного t

  (2.5.2)

является пределом аналитической функция  комплексной переменной  при , если функции  и  являются парой преобразований Гильберта:

   (2.5.3)

В последних выражениях интегралы понимаются в смысле главного значения Коши. Функции  и  называются сопряженными по Гильберту, а сигнал (2.5.2) - аналитическим.

 Выясним смысл преобразования Гильберта. Можно показать, что для тригонометрических функций

   (2.5.4)

сопряженные по Гильберту функции соответственно имеют вид

   (2.5.5)


В общем случае для периодического сигнала

  (2.5.6)

имеем  (2.5.7)

 

 Следовательно, сопряженный сигнал  может быть получен из действительного сигнала s(t) поворотом фаз всех его частотных составляющих на угол  против часовой стрелки (рис.2.29). Такая операция может быть осуществлена широкополосным фазовращателем.

  Для непериодических сигналов спектральная плотность  сопряженного сигнала связана со спектральной плотностью действительного сигнала соотношением

  (2.5.8)

т.е. и в этом случае амплитудные спектры сигналов s(t) и  одинаковы, а фазовые спектры отличаются на .

Спектр аналитического сигнала (2.5.2) согласно теореме о спектре суммы будет определяться выражением

  (2.8.9)

т.е. будет ''односторонним''.

 Аналитический сигнал  можно представить в виде вектора на плоскости (рис.2.30) и записать в показательной форме:

  (2.5.10)

 (2.5.11)

  (2.5.12)

При такой записи для действительного сигнала s(t) и сопряженного ему  имеем


(2.5.13), (2.5.14)

Вследствие однозначности преобразования Гильберта функции  и  определяются также однозначно и называются огибающей и фазой действительного сигнала . Правомерность этих названий вытекает из следующих свойств аналитического сигнала:

1. , что следует из (2.5.11).

2.   в тех точках, где , что следует из (2.5.12) и (2.5.13).

 3. , если . Действительно, дифференцируя равенство (2.5.11), имеем 

 

откуда с учетом второго свойства следует приведенное равенство. Следовательно, в точках, где , кривые a(t) s(t) имеют общие касательные.

 Таким образом, функции a(t) и s(t) нигде не пересекаются и только в точках, где , а , касаются друг друга, (рис.2.30 б). Это и позволяет функции  и  называть огибающей и фазой сигнала .

 Используя (2.5.12), можно дать общее определение круговой частоты колебания

  (2.5.15)

 Для радиосигналов, выделив из мгновенной частоты постоянную составляющую, равную , получим

  (2.5.16)

Последняя запись справедлива для всех узкополосных сигналов. Поэтому для них можно записать

  (2.5.17)

где функции  и  будут медленно меняющимися функциями по сравнению с .

  Для простых сигналов, составленных из небольшого числа гармонических колебаний, не представляет труда осуществить запись в виде огибающей и фазы, не прибегая к понятию аналитического сигнала. Однако, для более сложных сигналов, использующихся в системах связи, определить огибающую и фазу удается только при представлении сигнала в виде аналитического.

Заметим, что устройства тина амплитудного, фазового или частотного детектора позволяют выделить из сигнала  его огибающую, фазу или частоту.

 В качестве простого примера приведем запись АМ - сигнала в виде аналитического

  (2.5.18)

Из этого выражения с использованием (2.5.13) получим

   (2.5.19)

и

 (2.5.20)

  В радиотехнике и электросвязи большинство задач сводится к изучению результатов воздействия различных процессов на различные радиотехнические устройства и системы в целом. Процессы в этих устройствах представляют собой комбинации полезных сигналов и искажающих эти сигналы помех. Каждая из составляющих этих процессов может быть как детерминированной, так и случайной функцией времени. Большинство радиотехнических устройств представляет собой сочетание линейных и нелинейных цепей, каждая из которых в общем случае является инерционной, т.е. содержащей элемент, способный накапливать электрическую или магнитную энергию. Однако решение задач при наличии нелинейных инерционных элементов сильно усложняется при строгом рассмотрении протекающих процессов. Поэтому широко используются приближенные методы анализа воздействия сигналов на реальные устройства.

Искажение сигналов и их коррекция

В качестве примера линейных искажений рассмотрим искажения амплитудно-модулированного колебания

  Детерминированные сигналы, которые рассматривались выше, являются лишь частным случаем возможных сигналов связи. Они соответствуют известным переданным сообщениям и, следовательно, не могут нести информация. Сигналы, способные передать получателю какие-либо сведения, заранее не могут быть известными и представляют собой случайный процесс (последовательность импульсов в системе телеграфной связи или некоторую непрерывную функцию при передаче телефонных сообщений).

Наибольшее распространение получили методы, использующие пред-ставления сигналов в виде колебаний ( т.е. функций времени ) и спектраль-ного разложения на синусоидальные и косинусоидальные составляющие ( это преобразования Фурье ). Обобщенная спектральная теория исследует общие закономерности спектрального анализа для систем базисных функций и рассматривает особенности выбора базисных систем при решении задач передачи и обработки сигналов.
Использование программы Mathcad Лабораторные работы Кофе оптом от производителя подробности на сайте.
Теорема Котельникова Теория электросвязи